数値シミュレーション特論（Numerical Simulation）[4212]

＜授業のねらい及び具体的な到達目標＞

授業のねらい：
確率モデルを例に取り、シミュレーションに関して包括的に学習する。シミュレーションの数理基盤となる確率論、確率変数の性質と生成方法、モデルの具体例、統計解析の方法、分散低減法などを学ぶ。

到達目標：
数理モデルをシミュレーション研究により分析する手法を理解する。
擬似乱数の性質と生成方法を理解する。
擬似乱数から色々な分布の確率変数を生成する方法を理解する。
時間の経過に伴う確率モデルの事象の生成方法を理解する。
シミュレーションの推定値を改善する方法を理解する。

Aim of Lectures:
We learn comprehensively about simulation taking probabilistic models as example. More specifically, we learn the probability theory which is the mathematical foundation of simulation, the nature and generation method of random variable, concrete example of model, variance reduction method, statistical analysis method and so on.

Goal:
On completion of this course, the student should be able to:
1. Understand the method of analyzing mathematical models by use of a simulation study.
2. Understand the nature and generation method of pseudorandom numbers.
3. Understand how to generate random variables from pseudo random numbers.
4. Understand how to generate events of probabilistic models over time.
5. Understand varieties of methods to improve simulation estimators.

＜授業計画及び準備学習＞

1. 確率の要素
標本空間、確率論の公理、条件付き確率と事象独立、確率変数、期待値、分散と共分散の性質、マルコフの不等式、チェビシェフの不等式、大数の法則、条件付き期待値、条件付き分散

2. 離散型確率変数
二項分布の確率変数、ポアッソン確率変数、幾何分布の確率変数、負の二項分布の確率変数、超幾何分布の確率変数

3. 連続型確率変数
一様分布の確率変数、正規分布の確率変数、指数分布の確率変数、ポアッソン過程とガンマ分布の確率変数、不均一なポアッソン過程

4. 乱数と定積分
擬似乱数の生成とモンテカルロ積分法

5. 離散型確率変数の生成
逆変換法のアルゴリズム、ポアッソン確率変数の生成、二項分布確率変数の生成、Acceptance-Rejection法、Composition Approach、ランダムベクトルの生成

6. 連続型確率変数の生成
逆変換法のアルゴリズム、Rejection法、極座標による正規分布乱数の生成、Poisson過程のイベント生成、不均一なPoisson過程のイベント生成

7. 離散型事象モデルの具体例
在庫管理モデル、保険リスクモデル、修繕問題のモデル、ストックオプションの行使

8. 離散的事象のシミュレーション手法
離散型事象によるシミュレーション、 単一サーバーの待ち行列システム、縦列2台のサーバーの待ち行列システム、並列２台のサーバーの待ち行列システム

9. サンプリングによる多重数値積分法
多重数値積分の特徴、サンプリングによる多重数値積分法、特異関数の数値積分、サンプリングによる数値積分とイベント生成

10. シミュレーションデータの統計解析
標本平均と標本分散、標本平均と標本分散の漸化式、母集団平均の区間推定、ブートストラップ近似による平均二乗誤差の見積り

11. 分散低減の技法
負相関変量の使用、制御変量の使用、条件付けによる分散低減、
層別サンプリングと応用、加重サンプリングと応用

12. 統計学的検証法
フィットテスト、離散データに対するカイ二乗検定、連続データに対するKolmogorov-Smirnovテスト
不定パラメータを持つ仮説に対するフィットテスト離散データの場合、連続データの場合、2つのサンプルの問題、不均一なポアッソン過程の仮説の検証

13. コンピュータによる実験結果の整理と報告書の作成

14. 振り返り
準備学習
事前配布の資料によって準備学習をしてください。
1. Elements of Probability
Sample space, Axioms of probability, Conditional probability and Independence, Random variable, Expectation, Variance, Chebychev's Inequarity and the Lows of large numbers, Conditional Expectation and Conditional Variance

2. Discrete Random Variables
Binomial random variables, Poisson random variables, Geometric random variables, The negative binomial random variables and Hypergeometric random variables

3. Continuous Random Variables
Uniformly distributed random variables, Normal random variables, Exponential random variables, The Poisson process and Gamma random variables and Nonhomogeneneous Poission Process

4. Random Numbers and Numerical Integration
Pseuderandom number generation, Using random numbers to evaluate integrals

5. Generating Discrete Random Variables
The Inverse transform method, Generating a Poisson random variable, Generating Binomial random variables, The Acceptance-Rejection technique, The Composition approach, Generating random vectors

6. Generating Continuous Random Variables
The Inverse transform algorithm, The Rejection method, The Polar Method for generating normal random variables, Generating a Poisson process, Generating a Nonhomogeneous Poisson Process

7. The Discrete Event Simulation model
An Inventry model, An Insurance risk model, A Repair problem, Exercising a stock option, Verification of the simulation model

8. The Discrete Event Simulation Approach
Simulation via discrete events, A Single-server queueing system, A Queueing system with two servers in series, A Queueing system with two parallel servers

9. Multiple Numerical Integration by Sampling Method
Feature of Multiple Numerical Integration, Automatic Numerical Integration by Sampling, Difficulty in Numerical Integration of Singular Integrand, Numerical Integration and Event Generation by Sampling Method

10. Statistical Analysis of Simulation Data
The sample mean and sample variance, Interval estimates of population mean, The Bootstrapping technique for estimating mean square errors

11. Variance Reduction Techniques
The use of Antithetic variables, The use of control variables, Variance reduction by Conditioning, Stratified sampling, Applications of stratified sampling, Computing multidimensional Integrals of monotone functions, Importance sampling and its applications

12. Statistical Validation Techniques
Goodness of fit tests, The chi-square goodness of fit test for discrete data, The Kolmogorov-Smirnov test for continuous data, Goodness of fit tests when some parameters are unspecified, The two-sample problem, Validating the assumption of a Nonhomogeneous Poisson process

13. Execution of A Simulation Study for Specific Problem and Writing A Report

14. Reviewing of the course
Preparatory learning:
Preparatory learning from the distributed materials is required.

＜成績評価方法及び水準＞

質疑応答と発表を５０点、課題レポートを５０点とした合計で評価します。
遅刻・欠席は、授業内容の理解を妨げるため、成績評価に影響します。
止むを得ず欠席・遅刻をする場合には事前に電子メールで連絡してください。

Evaluation is made up with the answer and/or the presentation for specific subjects in the class room and with the report submitted by the student.
The resulting scores are 50 points from the former and 50 points from the latter.

Student must submit a report at the end of term.
Details of the subjects will be announced in the class room.

Do not be late or absent from class.
Please contact us in advance by e-mail if you are unable to attend class.

＜教科書＞

特に教科書は指定しません。
No textbook is required.

＜参考書＞

1. SIMULATION Fourth edition, Sheldon M.Ross, Academic Press.
2. 工学における数値シミュレーション　スーパーコンピュータの応用、
　　村田健郎、小国力、三好俊郎、小柳義夫　編著、丸善

図書館で閲覧できます。
The reference books are available at the university library.

＜オフィスアワー＞

水曜３時限、八王子校舎 1E-306 研究室
The 3rd school hour on Tuesday, the room numer 1E-306 in Hachioji campus.

大学の個人IDの電子メールアドレスからなら ct10519 [at] ns.kogakuin.ac.jp（飛松）へメールで連絡できます。
For contact send an e-mail to ct10519 [at] ns.kogakuin.ac.jp from your personal ID in the university e-mail system.