微分方程式特論（Advanced Differential Equations）[1206]

＜授業のねらい及び具体的な到達目標＞

工学のモデルを微分方程式で表現して、その解を求めたり性質を調べることは数学的な興味だけではなく工学の研究にとっても極めて重要なことである。１変数の微分方程式（常微分方程式）は一部の学科で学部生のときに習っているが、２階以上の常微分方程式は線形のみである。本科目は工学で登場する２階以上（連立１階に変換）の非線形の常微分方程式の解析方法（数値計算でない）まで解説していきたい。到達目標は
（１）線形代数の応用として連立１階の線形微分方程式が解ける。
（２）非線形微分方程式の安定性を調べられる。
（３）非線形微分方程式の極限閉軌道の存在が調べられる。
The aim of this course is to provide students with knowledge and skills about linear and nonlinear ordinary differential equations. The goal of this course are to
(1)Solve systems of first order differential equations by applying linear algbra.
(2)Obtain skills to investigate stability of systems of first order differential equations.
(3)Understand concepts of limit cycles and obtain skills to confirm one's existence.

＜授業計画及び準備学習＞

1. １階微分方程式（変数分離形）
   
2. １階線形微分方程式
   
3. 定数係数線形微分方程式（同次形）
   
4. 定数係数線形微分方程式（非同次形）
   
5. 線形系
   
6. 行列指数関数
   
7. 解軌道
   
8. 自励系の平衡点とJacobi行列
   
9. 双曲型平衡点
   
10. 双曲型平衡点における漸近安定性
    
11. 双曲型平衡点における不安定性
    
12. Lyapunovの方法
    
13. Lienardの方程式と極限閉軌道
    
14. 振り返り
    準備学習：キューポートで配布するプリントを読んでおくこと。
    

1. First order differential equations (Separation of variables)
   
2. First order linear differential equations
   
3. Linear differential equations with constant coefficients (Homogeneous type)
   
4. Linear differential equations with constant coefficients (Inhomogeneous type)
   
5. Linear Systems
   
6. Matrix exponentials
   
7. Orbits of solutions
   
8. Equibrium points and Jacobian matrixes for autonomous systems
   
9. Hyperbolic equibrium points
   
10. Asymptotic stabilities at hyperbolic equibrium points
    
11. Unstabilities at hyperbolic equibrium points
    
12. Lyapunov's methods
    
13. Lienard's equations and limit cycles
    
14. Reviewing
    Preparation：Read the handouts which you can get by downloading from kuport.
    

＜成績評価方法及び水準＞

問題を提示し、解答をレポートとして提出したもので成績評価する。
Evaluation:The teacher will give students some prolems. Grades will be decided by evaluating answers which students present in their reports.

＜教科書＞

プリント（授業で配布しないでキューポートからダウンロードして印刷できるにしておく）
Text:Students will have to take handouts printed from PDF files they can download from kuport.

＜参考書＞

• 「例からはじめる微分方程式」牧野潔夫・長谷川研二　著　牧野書店
  
• 「応用微分方程式講義」野原 勉 著　東京大学出版会
  
• 「力学系入門」Hirsh,Smale,Devaney 著　共立出版
  

＜オフィスアワー＞

月曜日(Monday)13:00〜14:00（classroom or A-2712）
メール（ft10058@ns.kogakuin.ac.jp）で予約すれば他の日時も可能。(Students can make appointments in other time by emails.)