幾何学ＩＩ（Geometry II）[5N19]

＜学位授与の方針＞

○	1. 基礎知識の習得
◎	2. 専門分野知識の習得
	3. 汎用的問題解決技能
	4. 道徳的態度と社会性

＜授業のねらい＞

曲線や曲面の方程式による表現から概形や特徴が理解できることを学習する。曲線でも関数のグラフでない陰関数の状態のままでは難しい。本科目では方程式が２次式である２次曲線、２次曲面に限定して、線形代数で学んだ固有値・固有ベクトルを応用する。以下の到達目標が達成できる。

1. 対称行列を直交行列で対角化できる。
   
2. 線形代数の応用として２次曲面や２次曲面を分類し概形を把握できる。
   

＜受講にあたっての前提条件＞

線形代数1〜4の内容を理解している。
先進工学部の学生のみ受講できます。

＜具体的な到達目標＞

1. 対称行列の対角化で２次形式を標準形に直せる。
   
2. 平行移動と回転によって２次曲線・曲面を標準形に変換できる。
   
3. ２次曲線を分類して、焦点・準線・離心率を求めることができる。
   
4. ２次曲面の分類して、概形を把握できる。
   

＜授業計画及び準備学習＞

1. ２次曲線と２次曲線の方程式：
   ２変数関数f(x,y)を用いてf(x,y)=0を満たす点(x,y)の集合は平面（２次元空間）上の直線や曲線になり、３変数関数f(x,y,z)を用いてf(x,y,z)=0を満たす点(x,y,z)の集合は３次元空間上の平面や曲面になる。f(x,y)=0を曲線の方程式、f(x,y,z)=0を曲面の方程式というが、fが１次式の場合は直線や平面になる。２次式の場合を特に２次曲線、２次曲面というが、これらをベクトルと行列で表すことができ、線形代数が応用できることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：プリントは事前に配布できないので線形代数の復習をしておく。
   
2. ２次形式と対称行列：
   ２次曲線や２次曲面の方程式の２次の項は２次形式で対称行列で表現できることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
3. 固有値と固有ベクトル：
   正方行列の固有値と固有ベクトルの計算方法を解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
4. 正方行列の対角化：
   固有値と固有ベクトルを求めてから、正方行列を対角化させる方法を解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
5. 直交行列と対称行列の対角化：
   対称行列は直交行列で対角化できることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
6. 回転と直交行列：
   直交行列は原点を中心とした回転を表すことを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
7. ２次曲線の標準形：
   ２次曲線を適当に回転させ、平行移動すると方程式が簡潔になり曲線の性質が調べやすくなることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
8. 楕円・双曲線・放物線：
   典型的な２次曲線である楕円・双曲線・放物線の方程式と概形を解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
9. 一般の２次曲線の分類：
   回転や平行移動で標準形に直すことによって、２次曲線が前回で習った３種類の曲線または直線や点に分類できることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
10. ２次曲面の標準形：
    ２次曲面を適当に回転させ、平行移動すると方程式が簡潔になり曲面の性質が調べやすくなることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
11. 楕円面・双曲面・錐面：
    典型的な２次曲面である楕円面・双曲面・錐面の方程式と概形を解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
12. 楕円放物面・双曲放物面：
    典型的な２次曲面である楕円放物面・双曲放物面の方程式と概形を解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
13. 一般の２次曲面の分類：
    回転や平行移動で標準形に直すことによって、２次曲面が前回までに習った５種類の曲面の他に楕円柱面・双曲柱面・放物柱面または平面・直線・点に分類できることを解説する。（次回は試験なので、試験前のオフィスアワーで希望者に返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
14. 学習内容の振り返り：
    準備学習：定期試験で解けなかった問題の解き方を考えておく。
    

＜成績評価方法＞

試験期間で実施する定期試験の得点が60点以上であればGradeをA+,A,B,Cのいずれかにするが、授業中に解かせた問題の解答状況で決まる平常点によりGradeをCからBにすることがある。（A+,Aは定期試験の得点のみで決める。）定期試験の得点が60点に若干満たない場合は平常点によりGradeをDにすることがある。平常点については授業態度が悪い、あるいは他人の解答を模写した答案の提出が目立つ場合は平常点を成績評価の資料から外すことがある。

＜教科書＞

• 高木悟 他著「理工系のための線形代数」培風館
  
• プリントを授業で配布したり、予習のためにキューポートにPDFファイルを事前にアップロードする。
  

＜参考書＞

• 金子晃 著「線形代数講義」サイエンス社
  
• 斎藤正彦 著「線型代数入門」東京大学出版会
  

＜オフィスアワー＞

水曜日17:30〜18:30
（1E-313数学研究室であるが４時限の授業が長引き、18:00ごろまで教室にいるかもしれない）
または授業終了後、教室にて。