システム幾何学（k）[5K17]

＜学位授与の方針＞

○	1. 基礎知識の習得
◎	2. 専門分野知識の習得
	3. 汎用的問題解決技能
	4. 道徳的態度と社会性

＜授業のねらい＞

本科目では幾何学の基本的な対象である平面上の曲線の性質を調べる方法を学ぶことが授業のねらいである。２年前期までに履修する微分積分や線形代数では計算方法を主に習うが、それ以降ではそれらを道具として使うことが求められ本科目もその一環である。

＜受講にあたっての前提条件＞

微分、積分、偏微分、重積分、線形代数学１〜４の内容を理解している。

＜具体的な到達目標＞

1. 様々な形で表現された曲線の長さや、曲線で囲まれた領域の面積が計算できる。
   
2. 曲線の曲がり具合を表す曲率や曲線を近似する曲率円が求められる。
   
3. ２次曲線を回転と平行移動により標準形に変換できる。
   
4. すべての２次曲線の概形が把握できる。
   

＜授業計画及び準備学習＞

1. 曲線の表現方法と接線：
平面上の曲線は方程式f(x,y)=0または媒介変数表示x=f(t),y=g(t)で表せる。関数のグラフの接線は関数の微分係数が傾きであることから求まるが、一般の曲線の接線を微分や偏微分で求める方法を学ぶ。
準備学習：微分積分の復習をしておく。

2. 直交座標と極座標：
平面において直交する２本の直線を座標軸にすれば点の位置を表す座標が定まるが、これを直交座標と呼ぶ。座標の定め方は他にもあり、よく利用されるものとして極座標とその変換方法を学ぶ。
準備学習：1回目のプリントを復習しておく。

3. 極座標と極方程式：
曲線上の点の座標が満たす等式は曲線の方程式であるが、座標が極座標の場合は極方程式と呼ぶ。直交座標の方程式と極方程式の関係を学ぶ。
準備学習：2回目のプリントを復習しておく。

4. 領域の面積：
媒介変数や極方程式で定義された曲線で囲まれた領域の面積の計算方法を学ぶ。
準備学習：2,3回目のプリントを復習しておく。

5. 曲線の長さ：
面積と同様に曲線の長さを定積分で求める公式を導き、媒介変数や極方程式で定義された曲線の長さを計算する。
準備学習：4回目のプリントを復習しておく。

6. 曲線の曲率：
曲率は曲線の曲がり具合を数値で表したものである。曲率の定義を理解して公式を学ぶ。
準備学習：5回目のプリントを復習しておく。

7. 曲率円：
曲線に接する円で半径が曲率の逆数のとき、この円を曲率円と呼ぶ。曲率円が曲線を近似することを理解して、曲線の方程式から曲率円の中心と半径である曲率中心と曲率半径を求める公式を学ぶ。
準備学習：6回目のプリントを復習しておく。

8. ２次曲線とベクトル、対称行列：
曲線の方程式f(x,y)=0のfが２次式のとき２次曲線と呼ぶが、線形代数を応用するためにfをベクトルと対称行列で表現する。
準備学習：7回目のプリントを復習しておく。線形代数１の行列の計算について復習しておく。

9. 回転と直交行列：
原点を中心とした回転を直交行列で表す。
準備学習：8回目のプリントを復習しておく。線形代数２の行列式の計算について復習しておく。

10. 直交行列と対称行列の対角化：
固有値と固有ベクトルの計算により対称行列を直交行列で対角化する。
準備学習：9回目のプリントを復習しておく。線形代数４の対角化について復習しておく。

11. ２次曲線の標準形：
２次曲線を回転及び平行移動させることにより方程式を標準形に変換する。
準備学習：10回目のプリントを復習しておく。

12. 楕円・双曲線・放物線：
典型的な２次曲線である楕円・双曲線・放物線の方程式と概形を理解する。
準備学習：10,11回目のプリントを復習しておく。

13. 一般の２次曲線の分類：
回転や平行移動で標準形に変換することによって、２次曲線が前回で習った３種類の曲線または直線や点に分類できることを理解する。
準備学習：10,12回目のプリントを復習しておく。

14. 学習内容の振り返り：
準備学習：定期試験で解けなかった問題の解き方を考えておく。

＜成績評価方法＞

試験期間に実施する期末試験100％。到達目標に照らして、6段階のGrade(A+,A,B,C,D,F)で評価し、D以上の者に単位を認める。

＜教科書＞

指定教科書なし。

＜参考書＞

理工系のための微分積分 長谷川研二 他 著 培風館
理工系のための線形代数 高木悟 他 著 培風館（この２冊は１年次で購入済）

＜オフィスアワー＞

水曜日17:20〜18:20（場所:1E-315）

＜備 考＞

「理工系のための微分積分」「理工系のための線形代数」の訂正は
http://home.att.ne.jp/air/satorut/book/index.html