応用解析学（Applied Analysis）[4P12]

＜授業のねらい＞

本科目はFourier解析とLaplace変換ついて学習する。これらの理論により一般的な関数と三角関数または指数関数との積の定積分により、関数の特徴を把握でき、微分方程式が解けたりする。１年次に習った微分積分を復習しなからFourier解析とLaplace変換に必要な積分の計算練習をして、基本的な公式や収束性のような重要な性質を理解する。工学や情報学への応用例としては回路理論や制御理論があるが（参考書に載っている）本科目では常微分方程式や偏微分方程式への応用力が身につく。

＜受講にあたっての前提条件＞

微分積分I・IIの内容を理解している。

＜具体的な到達目標＞

1. Fourier積分の計算により一般的な関数のFourier展開やFourier変換が計算できる。
   
2. Fourier展開の収束性やFourier変換の基本的な公式を理解して応用ができる。
   
3. Laplace変換が計算でき、基本的な公式を理解して応用ができる。
   
4. 典型的な応用として、微分方程式の解を求めることができる。
   

＜授業計画及び準備学習＞

1. 三角関数の直交性：
   三角関数の積分を計算して直交性を確認する。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：プリントは事前に配布できないので微分積分の復習をしておく。
   
2. Fourier積分：
   一般的な関数と三角関数の積の積分であるFourier積分を計算する。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
3. Fourier展開：
   関数を三角関数の級数で表すFourier展開を紹介し、係数をFourier積分から求める。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
4. Fourier級数の収束性：
   Fourier展開が元の関数に収束することを数学的証明だけでなくグラフの図も見て理解する。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
5. 複素指数関数と複素Fourier積分：
   三角関数を複素数を変数とした指数関数に置き換えた複素Fourier積分を計算する。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
6. 複素Fourier級数：
   三角関数を複素数を変数とした指数関数に置き換えた複素Fourier展開の係数を複素Fourier積分から求める。。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
7. Fourier変換：
   積分区間を無限にしたFourier変換を計算し、基本的な公式を理解する。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
8. Laplace変換：
   Fourier変換後の変数を複素数にしたLaplace変換を計算して、基本的な公式を理解する。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
9. Laplace逆変換：
   Laplace変換後の複素関数から元の関数を求めるLaplace逆変換の方法を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
10. 常微分方程式の初期値問題：
    Laplace変換の応用として常微分方程式の初期値問題の解法を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
11. 常微分方程式の境界値問題：
    Laplace変換の応用として常微分方程式の境界値問題の解法を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
12. 波動方程式：
    Laplace変換の応用として偏微分方程式の典型例である波動方程式の解法を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
13. 拡散方程式：
    Laplace変換の応用として偏微分方程式の典型例である拡散方程式の解法を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（試験前最終授業なので、試験前のオフィスアワーで希望者に返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
14. 学習内容の振り返り：
    準備学習：定期試験で解けなかった問題の解き方を考えておく。
    

＜成績評価方法＞

試験期間で実施する定期試験の得点が85点以上であればそれを成績点Xとする。定期試験の得点が85点未満であればそれをx点として、X=(ax)^b（小数点以下四捨五入）とする。ただしa，bは(85a)^b =85で合格基準点x₀に対して(ax₀)^b =60を満たすように定める。合格基準点は60点以下で各受講生毎に定めるとして、授業中に解かせた問題の解答状況による平常点が高いほど合格基準点は低くなる。平常点が最高であれば基準点は40点前後であるが、他人の答案を写すだけの解答が多い場合は平常点を考慮しない（基準点を一律60点）で試験のみで成績評価することがある。2015年以降入学者についてはXが95以上であればA+、85〜94であればA、75〜84であればBとしてXが60〜74で試験の得点が60以上がC、60未満をDとする。2014年以前入学者についてはXが60以上で単位を与える。

＜教科書＞

プリントを配布する。授業前にPDFファイルをキューポートにアップロードするので印刷してもらうことがある。

＜参考書＞

• 田代喜宏 著「ラプラス変換とフーリエ解析要論」森北出版
  
• 加藤雄介・求幸年 著「フーリエ・ラプラス解析」丸善出版
  

＜オフィスアワー＞

授業終了後教室で（19：15〜20：15）
または月曜日は月１，２回会議等で新宿に出勤するので、予約をとればA-2712数学研究室で対応できる。