複素関数論（Elementary Complex Functions）[2E31]

＜学位授与の方針＞

○	1. 基礎知識の習得
◎	2. 専門分野知識の習得
	3. 汎用的問題解決技能
	4. 道徳的態度と社会性

＜授業のねらい＞

今まで扱ってきた変数が実数である関数を，変数が複素数である関数にした場合にできる微分や積分などの理論が複素関数論である．複素数と複素関数に触れることでその有用性を理解し，さまざまな計算に応用できるようにする．

＜受講にあたっての前提条件＞

1変数関数の微分積分の知識は必要不可欠であり，よく復習しておくこと．2変数関数の微分積分については理解が不十分でも適宜復習すればカバーできる．

＜具体的な到達目標＞

1. 基本的な複素関数の値が計算できる．例えば「iⁱの主値が実数になる」ことが理解でき，その値を自力で計算できる．
2. 複素関数の微分可能性を判定できる．z=x+iyと表されるとき， u(x,y)+iv(x,y) が z の関数として複素微分可能となる条件がわかり，判定できるようにする．
3. 複素積分の計算ができる．まずは計算ができるようにすること．これを次の実関数の定積分に応用できれば完璧である．
   ∫₀^2π 1/(2+cos(x)) dx， ∫_-∞^∞ 1/(1+x⁴) dx

＜授業計画及び準備学習＞

[第01回] 複素数

授業計画を説明したのち，複素数についての四則演算を学習する． i=√(-1) に親しむ．

• [準備学習] 2次方程式の解の公式・判別式と解の性質(2つの実数解 or 重解 or 実数解がない/2つの複素数解)をおさらいする．分母の無理数の有理化を復習しておく．
• [最低到達目標] (1+2i)/(3+4i) を計算できるようにする．

[第02回] 複素平面

複素平面と極形式を学習する．また，複素平面上の図形(特に円)の表し方を考える．

• [準備学習] 三角関数の定義(高校の教科書を参照のこと)や平面座標について復習しておく．極座標については前提とはしないが調べておくとよい．
• [最低到達目標] 1+i を極形式にできるようにする．

[第03回] 複素関数

複素数から複素数への関数を考える．また，数列や関数の極限を理解する．複素関数の実部だけ・虚部だけを取り出せるようにする．

• [準備学習] 前回までの内容を完ぺきにおさらいしておく．
• [最低到達目標] f(z)=1/(z-i) (z=x+yi) の実部を x,y の式で書けるようにする.

[第04回] べき級数と複素関数

zの多項式で書き表される関数を考える. その無限級数(べき級数)が収束するかの判定法を紹介し，指数関数 exp(z)・三角関数(sin(z)・cos(z)・tan(z))・双曲線関数(sinh(z)・cosh(z)・tanh(z))を考える．

• [準備学習] 指数法則・三角関数の加法定理をおさらいしておく．等比級数について復習しておく．基本的な関数のマクローリン展開(e^x・sin(x)・cos(x)・1/(1-x))をおさらいしておく．
• [最低到達目標] オイラーの等式exp(iz) = cos(z) + i sin(z)を理解して，exp(2+π/3i)が計算できるようにする．

[第05回] 逆関数と複素多価関数

複素数の範囲で三角関数や指数関数の入った方程式を解く．そのうえで複素対数関数 log(z)・累乗根 _m√z ・一般の指数関数 z^w などを考える．多価関数や主値という概念を導入する．

• [準備学習] 高校数学の三角関数・指数関数・対数関数をおさらいしておく．前回扱った複素関数の復習をする．できれば集合と要素に関する事項を調べてほしい．
• [最低到達目標] exp(z)=iが解けるようにする．多価関数の値 iⁱを計算できるようにする．

[第06回] 複素関数の微分法

複素微分の定義をする．なお，複素微分の基本的な性質は実1変数関数の微分法と同じである．微分可能と正則の微妙な違い，複素微分可能な関数は少ないことも理解する．

• [準備学習] 実1変数関数の微分の定義や公式(x^m・sin(x)・cos(x)・e^x・積や商の微分公式・合成関数の微分法など)を復習する．
• [最低到達目標] f(z)=zの共役複素数 が複素微分不可能であることを理解する．

[第07回] 正則関数とコーシー・リーマンの方程式

複素関数の微分を復習して， f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) と表されるような関数が複素微分可能であるための条件を理解する．

• [準備学習] 複素微分の定義をおさらいしておく．偏微分は前提としないが理解しておくとよい．
• [最低到達目標] f(z)=|z|² が複素微分可能な z がわかり，その点での複素微分係数が求められるようにする．

[第08回] 複素関数の積分法

複素積分の定義を理解する．∫_C f(z) dz と ∫_C f(z) |dz| などの違いに注意すること．

• [準備学習] 定積分における置換積分をしっかり復習しておく．複素平面に図が描けるようにおさらいしておく．
• [最低到達目標] ∫_C (y+2xi) dz, C:z(t)=3t+2ti(0≥t≥1) の計算ができるようにする．

[第09回] コーシーの積分定理と 2πi の法則

正則関数を1周する積分路で複素積分すると 0 になる．一方， 1/z を 0 を囲むような積分路(向きは反時計回り)で複素積分すると 2πi になる．

• [準備学習] 複素平面に図が描けるようにおさらいしておく．複素関数の積分の計算方法を復習しておく．
• [最低到達目標] ∮_C 1/cos(z) dz, C:|z|=1 の計算ができるようにする．

[第11回] コーシーの積分公式＆グルザの定理

コーシーの積分公式およびその一般化であるグルザの公式を学習する．また，複素関数で重要な法則[正則関数は無限回微分可能]を理解する．整関数についても学習する．

• [準備学習] コーシーの積分定理と 2πi の法則を復習しておく．
• [最低到達目標] ∮_C exp(z)/z dz, C:|z|=1 の計算ができるようにする．

[第10回] 複素積分の練習

複素関数の積分の計算を演習を通して理解する．わからない点を質問できるように準備しておくこと．

• [準備学習] 複素積分についての復習をする．
• [最低到達目標] 複素積分がしっかり計算できるようにする．

[第12回] ローラン展開

正則でない点の扱いを理解する(孤立特異点・極)．テイラー展開の一般化と思っていただければよい．

• [準備学習] 1変数関数のテーラー展開(具体例を含めて)をおさらいしておく．
• [最低到達目標] f(z)=1/(z³(z-1)⁴) の極とその位数が何かがわかる．

[第13回] 留数の定理・実積分への応用

ローラン展開できてしまえば，その表示だけで積分が計算できてしまうという留数定理を紹介する．また，それを実積分に応用する．

• [準備学習] 定積分における置換積分や複素関数の積分の計算方法をよく復習しておくこと．
• [最低到達目標] 1/sin(z) の留数が求められ， ∮_C 1/sin(z) dz, C:|z|=1 の計算ができるようにする．

[第14回] 学習内容の振り返り

学習成果の確認 (授業内試験)

• [準備学習] 今まで本科目で学習した授業ノート・プリント類をすべて読み返し，理解が不足している単元を重点的に復習し，演習問題を解いておくこと．

予定は以上のとおりであるが，理解度に応じて内容が前後する場合がある．

講義の内容を理解してもらうために，ほぼ毎回レポートを課す(計12回予定)．採点して返却し，成績にも反映するので，取り組むようにしてください．授業や課題レポートを含め，日頃の学習への取り組み(特に復習・解きなおし)は大事である．講義プリントにも問題を載せるので，積極的に解いてください．

＜成績評価方法＞

1. 授業内試験の点数(7割)
2. レポート課題の解答状況(3割)

これで100点満点の素点を計算する．

2015(平成27)年度入学者については，素点に基づきGradeを算出し，Grade D以上を合格とする．

2014(平成26)年度以前入学者については，素点に基づき60点以上を合格とする．

＜教科書＞

指定教科書なし．プリントを配布する．配布するプリントを整理できるようにファイルを各自用意しておくこと．

なお，KUPORT(キューポート)を活用するので，使えるようにしておくこと．

＜参考書＞

授業内で適宜紹介する．「複素関数」や「函数論」などとタイトルで書かれている本は授業に直結する内容になっている.

なお，この授業は次の本を参考に組み立てている(ただし，記号の扱いや定義については異なるが，工学の応用についての記述もあるので参考になると思われる):
板垣正文 著「工学系学生のための 複素関数攻略への一本道」(森北出版)

＜オフィスアワー＞

授業の前後で受け付ける(12階講師室)．念のためにメールアドレスを載せておく． fu41118@ns.kogakuin.ac.jp

授業時以外で質問や何らかの問題が発生した際にはメールで連絡すること．

＜参考ホームページアドレス＞

http://t21suzuki.html.xdomain.jp/lecture/