総合幾何学Ｉ（k）[3D12]

＜学位授与の方針＞

◎	1. 基礎知識の習得
○	2. 専門分野知識の習得
○	3. 汎用的問題解決技能
	4. 道徳的態度と社会性

＜授業のねらい＞

１年次で履修する微分、積分、偏微分、重積分では計算が主であり、２年次以降はそれらを利用することが求められる。本科目は曲線や曲面への応用を学び、それによって微分積分の理解を深めること授業のねらいである。

＜受講にあたっての前提条件＞

微分、積分、偏微分、重積分、線形代数学１の内容を理解している。

＜具体的な到達目標＞

1. 様々な形で表現された曲線の長さや、曲線で囲まれた領域の面積が計算できる。
   
2. 曲線の曲がり具合を表す曲率や曲線を近似する曲率円が求められる。
   
3. 回転体の体積や回転面の面積を積分で計算できる。
   
4. 立体領域の体積や曲面の面積を重積分で計算できる。
   

＜授業計画及び準備学習＞

1. 曲線の表現方法と接線：
   平面上の曲線は方程式f(x,y)=0または媒介変数表示x=f(t),y=g(t)で表せる。関数のグラフの接線は関数の微分係数が傾きであることから求まるが、一般の曲線の接線を微分や偏微分で求める方法を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：プリントは事前に配布できないので微分積分の復習をしておく。
   
2. 直交座標と極座標：
   平面において直交する２本の直線を座標軸にすれば点の位置を表す座標が定まるが、これを直交座標と呼ぶ。座標の定め方は他にもあり、よく利用されるものとして極座標とその変換方法を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
3. 極座標と極方程式：
   曲線上の点の座標が満たす等式は曲線の方程式であるが、座標が極座標の場合は極方程式と呼ぶ。直交座標の方程式と極方程式の関係を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
4. 領域の面積：
   媒介変数や極方程式で定義された曲線で囲まれた領域の面積の計算方法を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
5. 曲線の長さ：
   面積と同様に曲線の長さを定積分で求める公式を導き、媒介変数や極方程式で定義された曲線の長さを計算する。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
6. 曲線の曲率：
   曲率は曲線の曲がり具合を数値で表したものである。曲率の定義を理解して公式を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
7. 曲率円：
   曲線に接する円で半径が曲率の逆数のとき、この円を曲率円と呼ぶ。曲率円が曲線を近似することを理解して、曲線の方程式から曲率円の中心と半径である曲率中心と曲率半径を求める公式を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
8. 回転体の体積：
   立体でも回転体の体積は１変数の積分で計算できる。公式を導き体積を計算する。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
9. 回転面の面積：
   平面の曲線を回転してできる曲面である回転面の面積の積分公式を導き、それを用いて面積を計算する。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
10. 重積分と体積：
    重積分の定義を復習して、重積分で立体領域の体積を計算する。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
11. 曲面の媒介変数表示：
    一般的な曲面は２つの媒介変数で表示できる。球面のような２変数関数のグラフにならない曲面の媒介変数表示の例を学ぶ。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
12. 外積と曲面上のヤコビアン：
    ベクトルの外積を使って媒介変数で細分された曲面の面積を近似して、曲面上のヤコビアンが導けることを理解する。問題を解き答案用紙を提出する。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
13. 曲面上の重積分：
    曲面上のヤコビアンを用いて曲面の面積を重積分で計算する。問題を解き答案用紙を提出する。（試験前最終授業なので、試験前のオフィスアワーで希望者に返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
14. 学習内容の振り返り：
    準備学習：定期試験で解けなかった問題の解き方を考えておく。
    

＜成績評価方法＞

試験期間で実施する定期試験の得点が85点以上であればそれを成績点Xとする。定期試験の得点が85点未満であればそれをx点として、X=(ax)^b（小数点以下四捨五入）とする。ただしa，bは(85a)^b=85で合格基準点x₀に対して(ax₀)^b=60を満たすように定める。合格基準点は60点以下で各受講生毎に定めるとして、授業中に解かせた問題の解答状況による平常点が高いほど合格基準点は低くなる。平常点が最高であれば基準点は40点前後であるが、他人の解答を写すだけの答案が多い場合は平常点を考慮しない（基準点を一律60点）で試験のみで成績評価することがある。Xが95以上であればA+、85〜94であればA、75〜84であればBとしてXが60〜74で試験の得点が60点以上がC、60点未満をDとする。

＜教科書＞

• 理工系のための微分積分 長谷川研二 他 著 培風館（１年次で購入済）
  
• プリントを授業で配布するが、予習のためにキューポートにPDFファイルを事前にアップロードする。
  

＜参考書＞

• 理工科系一般教育 微分・積分教科書 占部 実・佐々木 右左 編 共立出版
  
• 古典的難問に学ぶ微分積分 高瀬 正仁 著 共立出版
  

＜オフィスアワー＞

水曜日16:00〜17:00（1E-313数学研究室）

＜備 考＞

「理工系のための微分積分」の訂正は
http://home.att.ne.jp/air/satorut/book/index.html