偏微分・重積分演習（Exercises in Partial Differentiation and Multiple Integration）[4446]

＜授業のねらい＞

多変数関数とくに２変数関数の微分積分について学習したことを、演習形式により理解を深める。具体的な内容は、偏微分係数・偏導関数、合成関数の微分法とその応用、高階偏導関数、テイラー展開、極値問題、重積分と繰り返し積分、積分順序の交換、重積分の変数変換とその応用などである。本科目の習得後は複素関数論、ベクトル解析など幅広い応用数学分野を学ぶことができる。

＜受講にあたっての前提条件＞

「微分」「積分」の内容をきちんと理解している必要がある。

＜具体的な到達目標＞

1. 多変数関数の偏導関数を計算することができる。
2. ２変数関数の極値を求めることができる。
3. 重積分を累次積分に書き直して計算することができる。
4. 変数変換公式を利用して重積分を計算することができる。

＜授業計画及び準備学習＞

1. 偏微分係数と偏導関数
偏微分の定義と直感的な意味を学び、偏導関数について演習する。
準備学習：「微分」で学習した微分の定義と基本公式について復習しておく。
2. 高階偏導関数
高階偏導関数の定義や記号について学び、高階偏導関数について演習する。
準備学習：偏導関数について復習しておく。
3. 合成関数の微分法
多変数関数の合成関数とその偏微分について演習する。
準備学習：「微分」で学習した一変数の合成関数の微分法について復習しておく。
4. ２変数関数のテイラー展開
２変数関数のテイラー展開について演習する。
準備学習：「微分」で学習した一変数のテイラー展開と、第３回のプリントで合成関数の微分法を復習しておく。
5. ２変数関数の極大・極小
２変数の極大・極小について学び、簡単な場合について演習する。
準備学習：テイラー展開について復習しておく。
6. ２変数関数の極値問題の解法
２変数関数の様々な極値問題について演習する。
準備学習：２変数関数の極大・極小について復習しておく。
7. 陰関数
陰関数の概念について学び、陰関数の導関数について演習する。
準備学習：合成関数の微分法について復習しておく。
8. ２重積分と累次積分
２重積分の概念について学び、基本的な累次積分の計算法について演習する。
準備学習：「積分」で学習した積分の基本公式について復習しておく。
9. ２重積分の計算
累次積分を用いて２重積分の計算を行う。
準備学習：累次積分について復習しておく。
10. 積分順序の交換
積分の順序交換の意味を学び、積分の順序交換を用いて２重積分の計算を行う。
準備学習：２重積分の計算について復習しておく。
11. 極座標と変数変換
極座標と変数変換について演習する。
準備学習：置換積分について復習しておく。
12. 変数変換公式
変数変換公式を用いて、様々な２重積分を計算する。
準備学習：極座標と変数変換について復習しておく。
13. ３重積分
２重積分の拡張として３重積分の概念を学び、３重積分の計算をする。
準備学習：２重積分の計算を復習しておく。
14. 学習内容の振り返り
準備学習：期末試験で解けなかった問題の解き方を考えておくこと。

＜成績評価方法＞

試験期間に実施する期末試験100％、到達目標に照らして、6段階のGrade(A+,A,B,C,D,F)で評価し、D以上の者に単位を認める。

＜教科書＞

指定教科書なし。

＜参考書＞

長谷川研二 他「理工系のための微分積分」培風館

＜オフィスアワー＞

水曜３限、1E-317室