数学演習Ｉ（Exercises in Mathematics I）[4204]

＜学位授与の方針＞

◎	1. 基礎知識の習得
	2. 専門分野知識の習得
○	3. 汎用的問題解決技能
	4. 道徳的態度と社会性
	5. 創成能力

＜授業のねらい＞

問題演習を通じて、一変数の微分・積分に関する定義、定理や公式を身につける。

＜受講にあたっての前提条件＞

多項式関数等の基本的な関数について、極限、微分、積分を計算できること。

＜具体的な到達目標＞

○　積・商・合成関数の微分法を組み合わせて、様々な関数の導関数を求めることが出来る。
○　接線を利用し、平方根等の近似値を計算できる。
○　テイラー展開・マクローリン展開を計算でき、近似値計算等へ利用できる。
○　置換積分法や部分積分法を用いて、基本的な関数の原始関数を計算できる。

＜授業計画及び準備学習＞

第１回：微分・積分の概要
微分・積分の歴史について概説するとともに、数学と他の学問と違いについて説明する。
準備学習：高校の教科書における微分・積分の内容を整理しておくこと。

第２回：関数の極限
高校で学ぶ直感的な極限の定義が破綻することを説明し、厳密な定義「イプシロン・デルタ論法」に関する演習を行う。
準備学習：配布プリントの課題に取り組んでおくこと。（関数のグラフ）

第３回：合成関数と逆関数
初等的な関数を具体例として、合成関数と逆関数について演習を行う。また、分数関数と行列（線形代数）との関連を紹介する。
準備学習：高校の教科書を使って、初等的な関数「指数関数、対数関数、三角関数」の性質について学習しておくこと。

第４回：様々な微分法
積の微分、商の微分、合成関数の微分、逆関数の微分について演習を行う。
準備学習：前回のプリントを復習しておくこと。

第５回：逆三角関数
三角関数の逆関数である逆三角関数の性質と、その導関数について演習を行う。
準備学習：前回のプリントを復習しておくこと。

第６回：微分法の応用（接線、近似値）
微分の活用例として、ニュートン法による近似値計算法について演習を行い、微分を使わない近似値計算法と比較する。
準備学習：高校で学習した直線の方程式を復習しておくこと。

第７回：高階導関数
二階導関数（導関数の導関数）を使うと、増減表を書くことなく極値を求めることができるが、特定の条件下でしか機能しないという欠点がある。高階導関数を利用すると、その欠点を解消できるので、関連する演習を行う。
準備学習：第４回と第５回のプリントを復習しておくこと。

第８回：テイラー展開・マクローリン展開
指数関数・対数関数や三角関数を多項式関数（冪関数）で近似する方法について演習を行う。基礎となるテイラーの定理・マクローリンの定理は、近似値計算に利用できる他、自然対数の底 e が無理数であることの証明にも利用できるなど、微分・積分学の中で最も重要定理と言えます。
準備学習：前回のプリントを復習しておくこと。

第９回：ロピタルの定理、マクローリン展開による極限計算
微分法を活用した極限計算法に関する演習を行う。
準備学習：第７回と第８回のプリントを復習しておくこと。

第１０回：定積分の定義と計算
長方形の面積の極限として定積分を定義する「リーマン積分」に関する演習を行う。
準備学習：配布プリントの課題に取り組んでおくこと。（Σ記号の計算）

第１１回：不定積分（置換積分法、部分積分法）
合成関数の微分法や積の微分法から導出される「置換積分法」及び「部分積分法」について演習を行う。
準備学習：配布プリントの課題に取り組んでおくこと。（基本的な関数の不定積分）

第１２回：不定積分（三角関数、有理関数）
三角関数や有理関数の不定積分について演習を行う。
準備学習：前回のプリントを復習しておくこと。

第１３回：広義積分
積分区間が無限（例えば、実数全体等）の場合の定積分や有界でない関数の定積分等について演習を行う。
準備学習：配布プリントの課題に取り組んでおくこと。（定積分の計算）

第１４回：学習内容の振り返り
準備学習：定期試験で解けなかった単元のプリントを復習しておくこと。

＜成績評価方法＞

成績は、定期試験期間に実施する期末試験（100点満点）の成績により評価する。Grade D以上（2014年度以前入学者については60点以上）の者に単位を認める。

＜教科書＞

指定教科書なし

＜参考書＞

指定参考書なし

＜オフィスアワー＞

木曜日４限終了までの休み時間、八王子校舎講師室。