○数学ＩＩ（Mathematics II）[3313]

＜授業のねらい＞

多変数関数とくに２変数関数の微分積分について学習する。変数の数が増えると数式が複雑になり難しくなるように見えるが，微分積分が扱っている考え方は１変数の場合と同様である。形式的な複雑さに惑わされないためには，数学的な形式を支えている考え方は同じであることを理解する必要がある。多変数関数の微積分も１変数関数の微積分も結局は同様なことをやっているのだということを納得すると，微分積分に対する広い視野が得られる。この授業の内容を理解していると工学の多くの分野に対する数学的基礎づけが出来ていることになる．

＜受講にあたっての前提条件＞

前期数学Iの内容をきちんと理解している必要がある。

＜具体的な到達目標＞

（１）具体的な関数に対して，与えられた点のまわりの１次近似を計算することが出来る
（２）具体的な合成関数を微分することが出来る
（３）高階の偏導関数を計算することが出来る
（４）具体的な関数の極値問題を解くことが出来る
（５）重積分の意味を図形と関連付けて理解する事が出来る
（６）累次積分の意味を図形と関連付けて理解し具体的な計算が出来る
（７）極座標を用いて重積分を計算する事が出来る
本科目の習得後は工学で現れる微分積分を用いた応用の学習へとつながる．
（JABEE学習・教育到達目標）
「機械システム基礎工学プログラム」C-1（◎）

＜授業計画及び準備学習＞

1. 多変数関数の基本
　　多変数関数の基本について学習し，そのグラフや極限について理解する．
　　準備学習：数学Iで学習した微分の定義と計算の復習をしておく．

2. 偏微分と１次近似
　　偏微分の直観的な意味が分かり，１次近似式との関係を理解する．
　　準備学習：数学Iで学習した授業ノートと微分計算の復習をしておく．

3. １次近似式の応用，全微分
　　１次近似式の応用問題を解き，全微分との関係を具体的につかむ．
　　準備学習：第2回のノートの復習をしておく．数学Iで学習した授業ノートと計算の復習をしておく．

4. 合成関数の微分
　　多変数関数の合成関数とその偏微分について理解し具体的な計算ができる．
　　準備学習：第2,3回および数学I第2回の授業ノート復習をしておく．

5. 高階偏導関数
　　高階偏導関数の性質を理解し，具体的な計算ができる．
　　準備学習：第2,3,4回および数学I第6回の授業ノートの復習をしておく．

6. テイラー展開
　　関数が無限級数によって展開できることを理解する．
　　準備学習：第1〜5回および数学I第8回の授業ノートの復習をしておく．

7. 関数の極大極小
　　2変数関数の極値問題について正しい計算手続きが実行できる．
　　準備学習：第5,6回の授業ノートの復習をしておく．

8. 重積分とはなにか
　　2変数関数の重積分の幾何学的な意味を理解する．
　　準備学習：数学Iの積分に関するノートの復習をしておく．

9. 累次積分
　　累次積分の意味を理解し，それを用いて種々の積分が計算できる．
　　準備学習：数学I第9,14回のノートの復習をしておく．

10. 累次積分の応用
　　積分領域が複雑な場合について種々の計算が正しく実行できる．
　　準備学習：第9回のノートの復習をしておく．

11. 重積分の順序交換
　　積分の順序交換の幾何学的な意味を理解し，具体的な計算が正しく実行できる．
　　準備学習：第9,10回のノートの復習をしておく．

12. 極座標による重積分
　　極座標による重積分の有効性を理解し，基本的な計算が正しく実行できる．
　　準備学習：第9,10,12回のノートの復習をしておく．

13. 極座標による重積分の応用
　　極座標による重積分に関する応用計算が正しく実行できる．
　　準備学習：第9,10,12回のノートの復習をしておく．

14. 重積分の変数変換
　　重積分の変数変換の幾何学的な意味を理解し，基本的な計算を正しく実行できる．
　　準備学習：第2,3,4,12,13回のノートの復習をしておく．

15. 学習成果の確認（試験）
　　試験により理解度を確認する．
　　準備学習：前回までの総復習を行い，問題演習を行っておくこと．

＜成績評価方法＞

2015年入学者は期末試験100％。到達目標に照らして、6段階のGrade(A+,A,B,C,D,F)で評価し、D以上の者に単位を認める。
2014年以前入学者は，100点満点の試験で60点以上を合格とする．

＜教科書＞

「微分積分学の基礎」　吉田・北原・西村　共著（森北出版）

＜参考書＞

「新訂　微分積分II」　高遠・斎藤 ほか（大日本図書）
「実例で学ぶ 微分積分」　大原一孝著（学術図書出版社）
「理工系の基礎　微分積分　増補版」石原 繁，浅野 重初（裳華房; 増補第7版）

＜オフィスアワー＞

水曜日４時限目（八王子校舎総合教育棟01E-317室）
それ以外でもメールで約束の上，対応可。

＜学生へのメッセージ＞

多変数関数の微分積分は式が複雑で難しそうに見えますが，基本の考え方は１変数の場合と同様です。１変数の場合よりもむしろ基本の考え方が式の上に良く表現されているといえます。あくまでも基本に戻って道を見失わない様にじっくり取り組むことが大切です。