幾何学（Geometry）[1264]

＜学位授与の方針＞

◎	1. 基礎知識の習得
○	2. 専門分野知識の習得
○	3. 汎用的問題解決技能
	4. 道徳的態度と社会性
	5. 創成能力

＜授業のねらい＞

情報学部は線形代数学を１年後期に履修するが半年だけで、１年間であれば後半で習う線形代数学の重要な単元である固有値・固有ベクトルまで履修するのは難しい。本科目は幾何学であるが線形代数学の応用となる内容であり、幾何学を通して固有値や固有ベクトルを理解させる。主な授業のねらいは

• 正方行列の固有値・固有ベクトルを計算し対角化ができる。
  
• 線形代数の応用として２次曲面や２次曲面を分類し概形を把握する。
  

＜受講にあたっての前提条件＞

• ベクトル・行列の応用なので線形代数学を履修する。
  

＜具体的な到達目標＞

1. 固有値・固有ベクトルの計算により正方行列を対角化する。
   
2. 対称行列を直交行列で対角化する。
   
3. ２次曲線の分類し、概形を把握する。
   
4. ２次曲面の分類し、概形を把握する。
   

＜授業計画及び準備学習＞

1. 平面上の直線と２次曲線：
   平面上の直線や曲線は変数が２つの方程式で表現され、特に直線は１次方程式であり、方程式が２次のときは２次曲線で本科目の対象であることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：プリントは事前に配布できないので高校数学の復習をしておく。
   
2. ３次元空間の平面と２次曲面：
   ３次元空間の平面と曲面は変数が３つの方程式で表現され、特に平面は１次方程式であり、方程式が２次のときは２次曲面で本科目の対象であることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：プリントを読んでおく。
   
3. ２次形式と対称行列：
   ２次曲線や２次曲面の方程式の２次の項は２次形式で対称行列で表現できることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
4. 固有値と固有ベクトル：
   正方行列の固有値と固有ベクトルの計算方法を解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
5. 正方行列の対角化：
   固有値と固有ベクトルを求めてから、正方行列の対角化させる方法を解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
6. 直交行列と対称行列の対角化：
   対称行列は直交行列で対角化できることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
7. 回転と直交行列：
   直交行列は原点を中心とした回転を表すことを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
8. ２次曲線の標準形：
   ２次曲線を適当に回転させ、平行移動すると方程式が簡潔になり曲線の性質が調べやすくなることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
9. 楕円・双曲線・放物線：
   典型的な２次曲線である楕円・双曲線・放物線の方程式と概形を解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
10. 一般の２次曲線の分類：
    回転や平行移動で標準形に直すことによって、２次曲線が前回で習った３種類の曲線または直線や点に分類できることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
11. ２次曲面の標準形：
    ２次曲面を適当に回転させ、平行移動すると方程式が簡潔になり曲面の性質が調べやすくなることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
12. 楕円面・双曲面・錐面：
    典型的な２次曲面である楕円面・双曲面・錐面の方程式と概形を解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
13. 楕円放物面・双曲放物面：
    典型的な２次曲面である楕円放物面・双曲放物面の方程式と概形を解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
14. 一般の２次曲面の分類：
    回転や平行移動で標準形に直すことによって、２次曲面が前回までに習った５種類の曲面の他に楕円柱面・双曲柱面・放物柱面または平面・直線・点に分類できることを解説する。（次回は試験なので、試験前のオフィスアワーで希望者に返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
15. 学習成果の確認（試験）：
    準備学習：配布されたプリントを復習する。特に問題については再度解いてみる。
    

＜成績評価方法及び水準＞

定期試験をx点（100点満点）として、評点を (ax)^b とする。ただし a，b は (100a)^b =100 で、合格基準点x₀ に対して(ax₀)^b =60となるように定める。合格基準点は60点以下で各受講生毎に定めるとして、授業中に解かせた問題の解答状況による平常点が高いほど合格基準点は低くなる。平常点が最高であれば基準点は40点前後である。授業に出席せず答案用紙を提出しなくても定期試験で60点以上得点すれば合格となる。

＜教科書＞

• 指定教科書なし
  
• プリントを授業で配布したり、予習のためにキューポートにPDFファイルを事前にアップロードする。
  

＜参考書＞

本科目は線形代数の応用を目的としているので、内容が充実している線形代数に関する書物を紹介する。

• 線形代数講義　金子 晃 著　サイエンス社
  内容は高度であるが著者が女子大情報系学科で担当した線形代数の授業に基づいているので、文体が内容の割りには柔らかく、参考としてコンピュータのプログラムも載っている。
  
• 線型代数入門　斎藤　正彦　著　東京大学出版会
  担当者が学生のときに線形代数の教科書として指定されたものである。タイトルに「線形（型）代数」を含む数学書が出始めたころに出版したが、未だに発行されている名著である。この本が日本の大学に線形代数を広め、その功績で日本数学会出版賞を受賞した。
  

＜オフィスアワー＞

木曜日１４：３０〜１６：００（Ａ−２７１２数学研究室）
短時間なら授業終了後も対応する。