○数学Ｉ（Mathematics I）[3419]

＜学位授与の方針＞

◎	1. 基礎知識の習得
○	2. 専門分野知識の習得
○	3. 汎用的問題解決技能
	4. 道徳的態度と社会性
	5. 創成能力

＜授業のねらい＞

本科目の内容は微分積分である。高校でも習ったが大学、特に理工系では微分積分は専門科目の習得のために必要不可欠である。しかし、形式的に問題を解くだけでなく、専門分野では現象やモデルを数式で表現し解析するために微分積分を思い通りに駆使できるようにしなければならない。本科目のねらいは以下の通りである。

• 微分と積分の原理を理解して、数学以外の専門分野において正しく微分や積分が適用できる。
  
• 微分や積分の計算が難なくできるようになり、専門分野の習得の障壁が小さくなる。
  

＜受講にあたっての前提条件＞

• 高校数学で微分積分以外の分野（特に整式、方程式、数列、三角関数、指数関数、対数関数）をよく復習する。
  
• 微分積分については初歩から講義するが、高校の数学II・IIIを復習する方が好ましい。
  

＜具体的な到達目標＞

• 極限値の計算ができる。
  
• 初等関数の導関数の計算ができる。
  
• 初等関数の極値が計算でき、グラフの概形が描ける。
  
• 定積分の定義を理解し、不定積分による定積分の計算ができる。
  
• 有理関数の不定積分の一般的方法が身につく。
  
• 置換積分と部分積分で非有理関数の積分が計算できる。
  

＜授業計画及び準備学習＞

1. 関数の極限値１：
   極限の定義を説明し、収束と発散の違いを理解させる。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：プリントは事前に配布できないので高校数学の復習をしておく。
   
2. 関数の極限値２：
   約分や有理化による式変形で極限値を計算する方法を学ぶ。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：プリントを読んでおく。
   
3. 微分係数と導関数：
   微分係数はグラフの接線の傾きであり極限値として計算することを理解し、接点の座標を変数としたものが導関数であることを説明する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
4. 導関数の公式１：
   ２つの関数の積や商、また合成関数の導関数とべき関数の導関数の公式を解説し、問題を解かせながら公式を習得させる。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
5. 導関数の公式２：
   三角関数や指数関数の公式を解説し、問題を解かせながら公式を習得させる。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
6. 増減表と関数の極値：
   導関数を計算すれば関数の増減が把握でき、それを表にした増減表を作成させ関数の極大値と極小値を求めさせる。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
7. 高階導関数とマクローリン展開：
   導関数の計算を繰り返すと高階導関数が得られ、それから関数を多項式で近似させるマクローリン展開を求めさせる。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
8. グラフの概形：
   ２階導関数からグラフの曲がり具合を調べ、概形を描かせる。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
9. 区分求積法と定積分：
   定積分は曲線を境界とするする図形の面積であり、区分求積法により定積分の値は極限値であることを理解させる。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
   準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
   
10. 微分積分学の基本定理と不定積分：
    微分積分学の基本定理より導関数の逆演算である不定積分から定積分が計算できることを解説する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
11. 不定積分の公式と逆三角関数：
    不定積分の公式は導関数の公式より得られるが、特に三角関数の逆関数である逆三角関数は不定積分の計算で有用であることを説明する。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
12. 置換積分と部分積分：
    積分の計算法である置換積分と部分積分を解説し、より多様な関数の積分を計算させる。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
13. 有理関数の積分：
    分子・分母が整式の有理関数の積分は一定の手順で必ず計算できるので、その手順を習得させる。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（採点し次回の授業で返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
14. 非有理関数に対する置換積分
    非有理関数の積分を有理関数の積分に変形できる置換積分の具体的方法を紹介し習得させる。問題を解かせ答案用紙を提出させる。（次回は試験なので、試験前のオフィスアワーで希望者に返却）
    準備学習：返却された答案用紙を復習する。プリントを読んでおく。
    
15. 学習成果の確認（試験）
    準備学習：配布されたプリントを復習する。特に問題については再度解いてみる。
    

＜成績評価方法及び水準＞

定期試験をx点（100点満点）として、評点を (ax)^b とする。ただし a，b は (100a)^b =100 で、合格基準点x₀ に対して(ax₀)^b =60となるように定める。合格基準点は60点以下で各受講生毎に定めるとして、授業中に解かせた問題の解答状況による平常点が高いほど合格基準点は低くなる。平常点が最高であれば基準点は40点前後である。授業に出席せず答案用紙を提出しなくても定期試験で60点以上得点すれば合格となる。

＜教科書＞

• 指定教科書なし
  
• プリントを授業で配布したり、予習のためにキューポートにPDFファイルを事前にアップロードする。
  

＜参考書＞

• 理工科系一般教育 微分・積分教科書 占部 実・佐々木 右左 編 共立出版
  担当者が学生のときに微分積分の教科書として指定されたものである。毎年新しい微分積分の本が出版されており、その分価値が低い本は在庫がなくなれば絶版されることになるが、この本は初版から５０年近く経っているのに未だに出版社のホームページに掲載されているので、出版価値は非常に高い。
  
• 基礎と応用 微分積分I 金子 晃 著 サイエンス社
  微分積分の内容は高度であるが著者が女子大情報系学科で担当した微分積分の授業に基づいているので、文体が内容の割りには柔らかく、参考としてコンピュータのプログラムも載っている。
  
• 古典的難問に学ぶ微分積分 高瀬 正仁 著 共立出版
  著者は歴史の名を残している有名な数学者の原著を基に数学史を研究している人で、古い文献から見つけた微分積分の問題と解説が載っている。演習書とするには問題が難しすぎるかもしれないが、野心があれば挑戦してほしい。
  

＜オフィスアワー＞

水曜日５時限（八王子校舎０１Ｅ−３１３数学研究室）
授業の直後は講師室にいることが多い。